Una lengua extranjera

Todo mundo sabe que la matemática es el lenguaje de la ciencia. Digo, salió en un novela de Dan Brown, así que por lo menos sus numerosísimos lectores lo saben. Y, ahora que lo pienso, hasta Dan Brown lo sabe.

Lo que muchas veces no dicen es que, para los científicos, la matemática es en buena medida una lengua extranjera.

La matemática es un área de estudio enorme y llena de sutilezas que toma años aprender. Lo mismo vale para cualquier ciencia. Un científico rara vez tiene suficiente tiempo para aprender ambas cosas tan bien como pueda. Y, obviamente, su ciencia debe tener prioridad.

Me resulta natural que un científico cometa errores matemáticos: no es su área. Incluso dentro de un área, los de una rama dicen estupideces hablando de otras ramas. Y si yo me atreviera a hablar de física cometería más errores que el físico promedio hablando de matemáticas. Pero hay una diferencia en este aspecto entre los matemáticos y los científicos: mientras que los matemáticos (puros) no necesitan de la ciencia para su trabajo, los científicos con frecuencia no pueden evitar echar mano de la matemática.

Aún sintiendo que es natural que, digamos, un físico cometa errores matemáticos, a veces me sorprende verlo ocurrir. Es diferente cuando estás ahí, en el momento en que pasa.

Una vez un físico me explicó parte de un proceso que usaba para hacer hologramas. Hizo unas cuentas en el pizarrón en las que usó una integral impropia claramente divergente. Estuve a punto de señalar que eso no valía cuando terminó su cálculo y vió que la respuesta, que esperaba fuera del orden de 3, era cerca de 200. Dijo que no podía ser, borró el pizarrón y empezó de nuevo. Su segundo cálculo salío bien y siguió explicándome. Me quedé con la fuerte impresión que si el cálculo errado hubiera tenido una respuesta como la que esperaba nunca se hubiera enterado de que cometió un error matemático.

En otra ocasión un físico me platicó un método que ideó para calcular la exponencial de una matriz cuadrada. Su método era mucho más simple que el tradicional usando la forma canónica de Jordan. También era incorrecto. Ahora no recuerdo (esto fue hace unos 7 años) cual era su método, pero recuerdo que el error no era difícil de hallar. Al árbitro que leyó su artículo tampoco le costó trabajo encontrar el error y le envió una carta cortés explicándolo, me pareció, claramente. El físico no entendió.

Un óptico cuántico me contó un problema que tenía con unos operadores que nunca entendí que significaban ni sobre que clase de objetos operaban. (Esto no fue culpa del físico quien me explicó claramente el asunto: simplemente la física se me hace muy difícil y rara vez entiendo.) Quería una fórmula para el resultado de aplicar varias veces un operador a una cosa –y curiosamente todavía recuerdo este detalle–que denotaba "a". Me dijo que llevaba semanas con el problema. Con las identidades que me dió fue fácil calcular los primeros casos y notar que los coeficientes que buscaba eran los números de Stirling del segundo tipo (que no son nada esotéricos); después fue fácil demostrar que el patrón de los primeros casos se seguía cumpliendo más adelante. Le pude dar una referencia de su propio librero.

(Está bien: esta última anécdota no es estríctamente sobre un error, pero…)

No he tenido contacto con muchos científicos en persona. Para mí es más usual leer sus libros, sobre todo los de los computólogos. En el curso de los años he encontrado un fenómeno curioso entre los computólogos más teóricos: sienten una deuda con la matemática y tratan, a veces con resultados ligeramente cómicos, de pagarla.

He encontrado este sentimiento expresado explícitamente varias veces en la literatura computacional. Ahora me acuerdo de tres ejemplos:

En un artículo del excelente Beauty is our business publicado en honor al cumpleaños de Edsger Dijkstra, se presenta una supuesta nueva demostración del teorema de Gödel, más didáctica. En lugar de usar un sistema axiomático para números o conjuntos, usa un sistema para cadenas. Esto evita tener que usar la numeración de Gödel. El uso de un intérprete termina de simplificar la prueba, incluso a tal grado que ¡cabe en un renglón!

El artículo es valioso como una explicación del funcionamiento de la demostración teorema de Gödel, pero desafortunadamente no puede sustituirla: el punto del teorema de Gödel es que se aplica a teorías "del mundo real", es decir, ya en uso, y no a un sistema axiomático inventado para propósitos de la prueba. Además, suponer que el sistema incluye ya un intérprete es suponer demasiado. Parte importante de la demostración de Gödel es en esencia equivalente a mostrar que se puede programar un intérprete en un sistema austero.

Otro ejemplo tomado de un artículo de Jeroen Fokker titulado Explaining algebraic theory with functional programs:

It is time that programming pays back mathematics with some of these notations for structuring information.

Dice esto acerca de las notaciones desarrolladas en los lenguajes de programación para manejar la complejidad de programas grandes.

El artículo desarrolla una serie de clases en Haskell para representar estructuras algebraicas: monoides, grupos, anillos, etc. El artículo me pareció agradable e incluso útil pedagógicamente para alumnos que ya sepan programación funcional pero se atoren en su curso de álgebra lineal.

Con este artículo no tengo queja realmente, solo quería comentar la sensación de deuda con la matemática que tiene su autor. Y sí me parece un poco curioso que Fokker hable de pagarle a la matemática cuando su contribución es, como indica el título del artículo, a la pedagogía. (E incluso esa contribución no radica en la organización del conceptos (que es la tradicional que usan los matemáticos calcada en módulos de Haskell), sino en que el código sea ejecutable en una computadora, lo que ofrece a los alumnos una gran oportunidad de experimentar con las estructuras.)

Voy a terminar con dos cosas tomados de A logical approach to discrete math de David Gries y Fred B. Schneider. La primera es un  error matemático, probablemente resultado de la incomprensión. La segunda, un ejemplo más de computólogos tratando de pagar su "deuda" con la matemática.

Ese libro me gusta bastante (hasta lo compré) y no quiero que lo que diga aquí le deje al lector una mala impresión. Hasta donde recuerdo solo le he encontrado tres errores: los dos ejemplos que me faltan por contar y uno estilístico: abreviar mathematics a math.

En la sección titulada The axiom of choice dicen

The Axiom of Choice seems so obvious that it is often used without mention. However, whether it could be proved from the rest of set theory or had to be postulated turned out to be a central problem of modern mathematics, and it has still not been solved completely.

Escribir esto a mediados de los 90 es estar bastante desinformado. La independencia del axioma de elección de los demás axiomas de Zermelo-Fränkel queda establecida por trabajos de Kurt Gödel y Paul Cohen. El trabajo de Gödel debe ser de los 30 o de los 40 (no recuerdo exactamente) y el de Cohen debe ser de los 60.

El otro ejemplo del libro de Gries y Schneider es vergonzoso.

En la página 76 dicen que buscaron un buen ejemplo para la demostración de una equivalencia por doble implicación. Encontraron que varios textos de matemáticas discretas prueban que un número entero positivo es par si y sólo si su cuadrado lo es probando que (1) el cuadrado de un par es par y (2) el cuadrado de un impar es impar.

Escribieron ambas pruebas en el estilo que usan en el libro y se llevaron una sorpresa: podían probar el punto (1) con una cadena de equivalencias, ¡haciendo completamente innecesario el punto (2)!

Si tan solo todos adoptaran nuestro estilo de demostración el mundo conocería un periodo de demostraciones diáfanas como nunca ha conocido, parecen decir.

Para los que a primera vista les parezca correcta su demostración, les pido que encuentren el error y lo dejen en los comentarios a esta entrada.

i es par

⇔ (por la definición de par)

i = 2k (para algún entero positivo k)

⇔ (porque tanto i como 2k son positivos)

i2 = (2k) 2 (para algún entero positivo k)

⇔ (por propiedades de la aritmética)

i2 = 2(2k2) (para algún entero positivo k)

⇔ (por la definición de par)

i2 es par.

Autor: Omar

re(des)conocido autor de 1.0 blog(s).

10 thoughts on “Una lengua extranjera”

  1. First post!

    (Espero no estar cometiendo un error peor que el que dices del libro de Gries; si así es, pido disculpas y me justifico de que es noche y no he acabado mis tareas).

    El error es que si i2=(2k)2, entonces es mentira que i2=2(2k2); lo que realmente ocurre (y que haría correcta la demostración, creo) es que i2=2(2k-1)2.

    Pero yo conozco matemáticos que no pueden hacer una división de la cuenta de un restaurante, fíjate. Así que danos tantito chance a los computólogos.

    (Aunque, ahora que lo pienso, también conozco computólogos que no pueden hacer una división.)

  2. OK, hago uso de la cláusua “yo avisé que podía cagarla”… mi comentario está mal (además de mal formateado), pero ya no veo ningún error… (2k)^{2}=2k2k=2(2k^{2}); ¿dónde está el error?

    (Hago uso de la cláusula de “si Gries cometió el error yo también puedo… él tiene un libro publicado”).

  3. El error está en el último paso de la demostración, la “ida” de la implicación está bien:
    si i^2 = 2(2 k^2) entonces i^2 es par (porque es 2 m para algún entero m (a saber m = 2 k^2))
    Pero el “regreso” de la implicación esta mal: si i^2 es par entonces i^2 = 2 m para algún entero m (por la definición de par), pero la definición de par no dice nada acerca de esa m. ¿De dónde sacan que m es igual a 2 k^2 para alguna k?

  4. Yo casi caigo en la tentación de contestar. 🙂

    Por cierto que tengo la sensación de haber visto previamente esta última “demostración” aunque precisamente el ejercicio era encontrar el error. Para lo cual no está mal.

  5. Contesto por dos razones la primera es que creo que no esta tan mal la demostración y la segunda porque ya tiene mucho desde que se publico “Una lengua extranjera”

    Bueno en lo personal considero que la demostración es correcta, creo que hay un abuso al decir que i^2=2(2k^2) (cuando uno leer el regreso), pero creo que uno puede interpretar que el autor tenia gueva de citar el teor. fund. de la aritmética, como en otros artículos y libros el autor presume que el lector puede justificar algún paso: i^2 es par, entonces i^2=2m (por definición) pero m tiene descomposición única en potencias de primos, como 2m es un cuadrado entonces las potencias de 2m son pares, entonces m es par, entonces m = 2n y i^2=2(2n)=2^2(n) pero m = 2 p1^2a1* p1^2a2*… pn^2an entonces existe un numero k positivo talque m = 2 (k^2) con lo cual se puede decir que i^2=2(2k^2) y bueno en este momento creo que talvez no era tan trivial y considero que es un error dependiendo de para que nivel esta escrito el libro

    Es decir creo que esta bien pero no es claro

  6. Isaac: espero que estes de acuerdo que una demostración no debe saltarse un paso que sea tan complejo como todos los demás juntos. La demostración publicada en ese libro usa pasos diminutos: es obvio que no estaban pensando en lo que tu dijiste.

    Además, en otro sentido complicaste la prueba: metiste el teorema fundamental. Este resultado no lo necesita, de hecho, por ejemplo, Euclides lo podría haber demostrado. (Los Elementos de Euclides tienen un capítulo de teoría de números, pero no incluye el teorema fundamental.)

  7. Hola,

    muy interesante el artículo, especialmente cuando hablas sobre la relación entre matemática y ciencia, y que la metemática es estudiable sin la ciencia, pero ésta normalemente necesita la ayuda de la matemática. Es posible dejar de pensar a la matemática como una ciencia?
    Me interesa esto, porque en un blog en equipo que tenemos, justamente estamos discutiendo estos temas. Si quieres, te invito a revisarlo (elfibio.blogspot.com) y si tienes tiempo, quizás quieras ayudar a colaborar, siendo parte del blog.

    un gran saludo

  8. Ya que eres un erudito en lógica matemática, me gustaría exponerte la gran duda que me asalta respecto del teorema de Gödel, que aun no logro entender en un 100%.

    Cuando se tiene la proposición P “el código q es demostrable”, proposición que a su vez tiene como código al número p, y en el supuesto que q sea a su vez el código de una proposición cualquiera, no puedo entender cabalmente como no es demostrable el código que pareciera verdad evidente (p=>q). Si el código anterior fuera demostrable, la proposición de Gödel “G no es demostrable”, cuyo código es precisamente G, necesariamente sería demostrable, ya que el código (noG=>G) sería demostrable, pero noG =>G G v G G, sería entonces demostrable.

    Lo anterior no es una afirmación, sino que obedece a una duda (seguramente me vas a decir que efectivamente el código (p=>q) no es necesariamente demostrable, pero valla que cuesta masticar eso). Si (p=>q) fuera demostrable, yo estaría llegando a la conclusión que el concepto general de demostrabilidad no se puede expresar en un número finito de pasos, con lo que el número G simplemente no existiría. A propósito, se ha calculado alguna vez ese número?

    Un gran saludo y de antemano gracias

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